我们用各种各样的数来描述自然：从常见的自然数到负数，从有理数到无理数，从孤独的质数到不同的无穷大。每一个数都它自己的故事，每一个数都不可思议。比如，说到1.26时你会想到什么？这是曲曲折折的雪花曲线的维数！介于一维和二维之间的雪花曲线是人类构造的一种分形图案，它由简单的规则产生，却反映了自然界中的复杂形状。
今天的文章摘选自数学家伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）的科普著作《不可思议的数》，在书中，作者讲述了许多数字背后的故事，带领我们进入了奇妙的数字世界。
撰文 | 伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）
译者 | 何生
分 形
谢尔平斯基垫片是在20世纪早期出现的一种“小玩意儿”，当时，它有一个相当难听的名字——“病态曲线”。这种曲线包括黑尔格·冯·科赫的雪花曲线（图1左），以及朱塞佩·皮亚诺和大卫·希尔伯特的一些空间填充曲线（图1右）。
图1: （左）雪花曲线。（右）构造希尔伯特的空间填充曲线的各个阶段
那时候，构造这类曲线是一种业余爱好，它们是那些“看似是真、但实则是假”的命题的反例。雪花曲线是连续的，却没有地方是可导的，也就是说，它虽然没有断开，但处处不光滑。曲线的长度无限，但又在有限区域内。空间填充曲线不仅非常稠密，而且的确可以填满空间。当构造无限继续下去时，得到的曲线会经过实心正方形里的每个点。
有些保守的数学家嘲笑这些曲线有点“弱智”。希尔伯特是当年为数不多的有先见之明的数学家。他意识到，曲线能帮助数学变得更缜密，在阐明数学的逻辑基础方面也很重要。所以，希尔伯特热情地支持认真对待这些怪异性质的人。
如今，数学家们会从更积极的角度来看待这些曲线：它们是一个崭新数学领域的早期雏形，而这一领域就是由曼德博在20世纪70年代开辟的分形几何。病态曲线诞生于纯数学，但曼德博意识到，类似的形状可以解释自然界中的不规则性。他指出，三角形、正方形、圆形、圆锥体、圆球体，以及其他欧氏几何里的传统形状都没有精细的结构。如果你放大一个圆形，它就像一条平淡无奇的直线。然而，自然界的许多形状在精细尺度下都有着错综复杂的结构。曼德博写道：
“云不是球体，山不是锥体，海岸线是不规则的圆形，树皮并不光滑，就连闪电也不是走直线的。”
当然，人人都知道这些，但曼德博理解它的重要性。
他并没有宣称欧几里得形状是无用的。这些形状在科学领域起着及其重要的作用。例如，行星基本上算是球体，早期的天文学家们认为，这是一个很有用的近似。如果把球体压扁成椭球体，则会是更好的近似，不过它依然是一种简单的欧几里得形状。但在某些情况下，简单的形状就不那么有用了。树有许多越来越细的枝杈，云是柔软的团团，山体参差不齐，而海岸线则犬牙交错。想要从数学上理解这些形状，并解决关于它们的科学问题，需要一种新的方法。
让我们先来看看海岸线。曼德博注意到，不管比例尺的大小，海岸线在地图上看起来几乎相同。大比例尺的地图能展现出更多细节：海岸线有额外的曲折，但粗看起来，它和小比例尺的地图上画得颇为相像——海岸线的精确形状虽然变了，但“纹理”几乎一样。事实上，不管地图的比例尺有多大，海岸线的多数统计特征，如给定相对大小的海湾所占的比例，都是一样的。
曼德博引进了词语“分形”来描述那些不管怎样放大，总存在复杂结构的图形。如果小尺度下的结构和大尺度的相同，那么这种分形就是自相似的。如果只有统计特征相同，那么它们就是统计自相似的。最容易理解的就是那些自相似的分形。谢尔平斯基垫片就是一例。它由“三份自己”组成，同时每份的大小减半（图2）。
图2: 谢尔平斯基垫片
雪花曲线是另一个例子。它可以由图3右侧所示的曲线复制三份后构成。这个构件（尽管不是完整的雪花）是精确自相似的。构造的各个阶段是将上一阶段的结果复制4份后拼在一起，并且每份的尺寸是原来的三分之一（图4）。
图3: 构造雪花曲线的各个阶段
图4: 曲线的每四分之一段，放大3倍后看起来和原先的一样。
这个形状太有规律了，不能代表真正的海岸线，但其曲折程度大致恰当。不规则曲线的构造方法与之类似，只是伴随着随机的变化，它们看起来更像真正的海岸线。
分形广泛存在于自然界中，准确地说，可以用分形来模型化的形状在自然界很普遍。现实世界中并不存在数学对象，数学对象都只是概念。有一种被称为宝塔西兰花的花椰菜是由很小的花球组成的，每个花球都与整棵花椰菜的形状相同（图5）。从矿物的精细结构到宇宙的物质分布，都有分形的影子。手机天线、在CD和DVD里存储大量数据，以及诊断癌细胞，也都用到了分形。新的分形应用领域层出不穷。
图5：宝塔西兰花
分形的维度
分形到底有多曲折，或者说，它填充空间的效率怎样，都可以由分形维度来表示。为了理解这种维度，我们首先考虑一些简单的非分形形状。
如果把一段线段分成1/5大小的小线段，那么我们应该5段小线段才能重新构成原来的线段。假如对正方形做类似操作，我们应该25个小正方形，即5^2，而立方体则需要125个，即5^3（图6）。
图6：在一维、二维、三维中，“立方体”在比例方面的不同效果。
5的指数与形状的维度相等：线段的指数是1，正方形的指数是2，立方体的指数是3。如果维度是d，那么就必须得有k份大小为1/n的形状才能拼出原先的形状，其中 k=n^d。两边取对数后，得到d的公式
d=lgk/lgn
让我们用这个公式来计算一下谢尔平斯基垫片。如果用较小的副本来构造垫片，我们应该 k=3 份垫片，每份大小为1/2。因此，n=2，于是我们得到公式
d=lg3/lg2
d约等于1.5849。因此在这样的一种情况下，谢尔平斯基垫片的维度不是一个整数。
当我们用传统方法来思考维度时，作为有效的独立方向数量，维度一定是一个整数。但在分形里，我们试着用维度来衡量分形有多么不规则、多么复杂，或用它来评估分形占用周遭空间的情况（而不是指向多少个独立方向）。谢尔平斯基垫片明显比线段稠密，但比实心正方形稀疏。因此，我们想要的值应该介于1（线段的维度）和2（正方形的维度）之间。尤其，这一维度不能是一个整数。
我们用同样的方法，也能计算出雪花曲线的分形维度。如前所述，因为雪花曲线是自相似的，所以我们更容易处理三分之一的雪花曲线，即三条一模一样的“边”之一。如果用较小的副本构造雪花曲线的一条边，我们应该 k=4 份副本，每份大小为1/3，因此n=3。于是得到公式
d=lg4/lg3
d约等于1.2618。这个分形维度也不是整数，但同样讲得通。雪花显然比线段曲折，但它的空间填充情况不如实心正方形。我们应该的维度值还是应该介于1和2之间，因此1.2618很有道理。
维度是1.2618的曲线比维度是1的曲线（如一条直线）更曲折，但它不如维度是1.5849的曲线（如谢尔平斯基垫片）曲折。大多数实际的海岸线的分形维度约等于1.25——相较于谢尔平斯基垫片而言，它们更像雪花曲线。因此，分形的维度和我们对“哪种分形能更好地填充空间”的直觉是一致的。它也为实验主义者提供了一种定量方法，来检验基于分形的理论。例如，烟灰的分形维度大约是1.8，因此，尽管烟灰堆积物的分形样式有很多，但能够最终靠观测它们是不是满足这个数来检验。
当分形不是自相似时，还有许多不同的方法可以定义分形的维度。比如，数学家们用“豪斯多夫–贝西科维奇维度”，这是一种相当复杂的定义。物理学家们常用“盒维度”，其定义相对简单。在很多情况下，这两种维度的部分记法是一样的。前面提到的分形是曲线，但分形也可以是面、体或更高维的形状。在这种情况下，分形的维度用于衡量分形有多么“粗糙”，或评估填充空间的效率。
上面两个分形的维度都是无理数。我们假设 lg3/lg2=p/q，且其中p和q是整数，那么qlg3=plg2，于是lg3q = lg2p，因此有 3q = 2p。但这一结果与质数分解的唯一性矛盾了。lg4/lg3也可以用类似的方法证明。像这样的基本事实，居然出现在如此意想不到的地方，不是很有趣吗？
曼德博集
在所有分形里，最著名的也许要算是曼德博集了。它描绘了如果对一个复数平方，再加上一个常数，并反复地运算后，会发生什么。也就是说，选取一个复常数c，然后计算c^2+c，接着计算(c^2+c)^2+c，再计算((c^2+c)^2+c)^2+c，以此类推。当然，还有一些别的方法可以定义该集合，但这是最简单的一种。
从几何上说，复数在一个平面上，它扩展了常规的实数轴。对上面提到的数列里的所有复数而言，最多有两种可能：要么所有复数都留在某个有限的复平面区域内，要么不是这样。接下来，将数列留在某个复平面区域内的c染上黑色，而把数列发散到无穷的c染上白色。于是，所有黑点构成的集合就是曼德博集（图7）。
图7: 曼德博集
曼德博集的边界，即那些与黑点和白点都任意接近的边缘上的点，也是一种分形。它的分形维度大约是2，因此它“几乎可填”。
为了看清更多细节，我们大家可以根据数列发散到无穷的速度，为白点重新着色。于是，我们得到了一个非常复杂的图形，它充满了花饰、螺线和其他形状。如果放大图片，就会出现慢慢的变多的细节。观察下边，你还可以发现一个完整的曼德博子集（图8）。
图8: 曼德博子集
像这样的曼德博集看起来不会有什么重要的应用，但它是基于复数的最简单的非线性动力系统之一，因此，它引起了许多数学家的注意，他们想从中寻找具有更广泛适用性的一般性原则。曼德博集还证明了一个重要的“哲学”观点：简单的规则会导致复杂的结果，也就是说，简单的原因会产生复杂的影响。
试着去理解一个非常复杂的系统，并期望它所遵循的规则也同样复杂，这是一件很诱人的事。然而，曼德博集证明了这种期望可能会落空。这个观点催生了整个“复杂性科学”领域，这一全新领域试图通过寻找更简单的规则，去处理由这些规则驱动着的显然很复杂的系统。
作者简介
伊恩·斯图尔特（Ian Stewart），数学家，英国皇家学会会员，曾获英国皇家学会的“法拉第奖章”。他著有多部优秀的畅销数学科普作品，如《改变世界的十七个方程》《数学万花筒》系列等。
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