本文研讨对怎样的整数六元组(a,b,c,d,e,f)多项式x(ax+b)/2 + y(cy+d)/2 + z(ez+f)/2在变元x,y,z取天然数值或整数值时可表明一切天然数。
关于整数m=3,4,…, 古希腊数学家依正m边形引进的m角数如下给出：pm(n) = (m-2)n(n-1)/2+n(n=0,1,2,…). 特别地，四角数便是平方数，三角数形如Tn= n(n+1)/2(n=0,1,2,…). 1638年Fermat声称每个天然数（即非负整数）可表成m个m角数之和，m=4时这由 Lagrange 在1770年证明, m=3时被Gauss在1796年处理, m ≥ 5的景象直到1813年才由Cauchy给出证明。pm(x)在x取整数值时也给出天然数值，这些叫做广义m角数。
1862年Liouville定出了悉数的7个正整数三元组(a,b,c)使得每个天然数可表成aTx+bTy+cTz的方式，其间x,y,z归于天然数集N=. 2005年作者建议研讨怎样的平方数与三角数混合和ax2+by2+cTz或ax2+bTy+cTz可表明一切天然数，经过作者及其合作者的三篇论文，这问题在2009年取得终究处理。
2009年作者又建议研讨怎样的三个多角数线性组合api(x)+bpj(y)+cpk(z)可表明一切天然数(拜见Sci. China Math. 58(2015), 1367-1396)，提出了许多猜测并证明了一些效果，例如：他猜测每个天然数可表成一个三角数、一个偶的四角数（即平方数）与一个五角数之和，并证明把五角数换成广义五角数时这是对的。韩国的B-K. Oh证明了作者在这方面的部分猜测。
本文考虑一般的三个单变元二次多项式和
x(ax+b)/2 + y(cy+d)/2 + z(ez+f)/2， （*）
这儿a,b,c,d,e,f为整数，a≥c≥e>0, b>-a, d>-c, f>-e, 且a+b,c+d,e+f全为偶数。假如(*)在变元x,y,z取天然数时能表明一切天然数，咱们就说它(或相应的有序六元组(a,b,c,d,e,f))在N上通用。Gauss的三角数定理相当于说(1,1,1,1,1,1)在N上通用。本文证明了在N上通用的 (a,b,c,d,e,f)只可能在咱们详细列出的473个六元组中，咱们还运用种种技巧证明了其间56个确实在N上通用，并猜测余下的候选（见该文附录）也都在N上通用。
在0≤bZ上通用。本文决议出一切这样的六元组候选(a,b,c,d,e,f)（共有12082个），并运用三元二次型理论证明了其间一些候选确实在Z上通用。
咱们用个详细的比如来阐明。作者猜测(1,1,3,1,5,1)在N上通用，即多项式
P(x,y,z) = x(x+1)/2 + y(3y+1)/2+ z(5z+1)/2
在x,y,z取天然数时能表明一切天然数。咱们证不了这个并宣告赏格135美元征解，但本文证明了P(x,y,z)在x,y,z取整数值时可表明任何天然数。
天然数的表明问题是数论的中心论题，本文展开了一个巨大的方案。要证明余下的上万个六元组（在N上或Z上）通用候选确实是通用的，将是长时间而艰巨的使命。运用现有的三元二次型理论远远不足以完结这个使命，本文有望影响出处理这类问题的新方法或新理论。
作者简介：
孙智伟，1965年10月生。现为南京大学数学系教授、博士生导师，数学系数学与使用数学专业主任, 我国数学会组合与图论专业委员会副主任，其研讨方向为组合数论与加法组合。
他获过多项荣誉与奖赏，例如：教育部首届青年教师奖、国家杰出青年科学基金与国务院政府特殊津贴。他在组合与数论穿插范畴有许多立异效果, 迄今已在国外闻名数学期刊《Trans. Amer. Math. Soc.（美国数学会汇刊）》等SCI杂志上宣布了一百多篇学术论文。他还提出了许多原创性数学猜测，引起一些世界闻名数学家的重视与研讨。
